Как изучать производные тригонометрических функций

Признаюсь честно? Я никогда до конца не понимал производные тригонометрических функций. Конечно, я запомнил, что производная синуса ($ \sin' $) — это косинус ($ \cos $), а производная косинуса ($ \cos' $) — минус синус ($ -\sin $), как и все. Но производная тангенса? Косеканса? Для меня это было чистой магией.

После долгих лет поисков я нашел золотую середину между утомительным выводом и механическим заучиванием. Момент озарения: все тригонометрические функции изменяются по одному и тому же принципу: (знак)(масштаб)(заменяемая функция).

Вот таблица производных тригонометрических функций, которую мы научимся заполнять:

В качестве подготовительного этапа, научитесь визуализировать тригонометрические функции и понимать, как они связаны между собой с помощью теоремы Пифагора и подобия:

Часть 1: Изучаем таблицу

Сначала давайте научимся создавать эту таблицу, по одному столбцу за раз:

1. Функция: Функция, которую нужно продифференцировать (sin, cos, tan, cot, sec, csc)
2. Знак: «Основные» функции имеют положительный знак, а «ко-» (дополнительные) функции — отрицательный.
3. Масштаб: Гипотенуза (красная), используемая каждой функцией.
4. Замена: Другая функция в каждом пифагоровом треугольнике (sin ⇄ cos, tan ⇄ sec, cot ⇄ csc).
5. Производная: Умножаем, чтобы найти производную.

Вуаля! Эта процедура каким-то образом помогает найти производные для тригонометрических функций. Советы для обучения:

• Думайте о «тройке З»: знак, масштаб, замена (Sign, Scale, Swap).
• Вы, вероятно, уже запомнили, что производная синуса ($ \sin' $) равна косинусу ($ \cos $), а производная косинуса ($ \cos' $) — минус синусу ($ -\sin $). Заполните эти строки, чтобы начать процесс.

Обычно я предпочитаю понимание заучиванию. Но, по сути, вы интересуетесь производными тригонометрических функций, потому что у вас скоро экзамен, и я хочу помочь вам прямо сейчас.

Как и в таблице умножения, после заполнения ячеек мы замечаем закономерности. Могут ли производные $ \sin' = \cos $ и $ \csc' = -\csc \cot $ иметь что-то общее?

Ещё как.

Часть 2: Визуализируем производные

Что такое производная синуса?

Формальный подход заключается в подстановке $ \sin(x) $ в определение производной, выполнении алгебраических преобразований и получении $ \cos(x) $. Это точно, но не всегда приносит удовлетворение. Если бы производной была $ \sec(x) $, заметили бы вы неладное? Скорее всего, нет.

Вот что происходит геометрически:

Производная синуса означает: "Насколько изменится наша высота, если я изменю угол?"

Я вижу это так: у нас есть исходный угол $x$. Мы немного увеличиваем его ($dx$), который можно расположить вдоль единичной окружности (поскольку радианы — это расстояние, пройденное по периметру).

Затем мы строим мини-треугольник, основанный на $dx$, подобный большому, который показывает изменение высоты и ширины при движении по периметру.

Большой треугольник имеет пропорции: красная : синяя : зеленая $ = 1 : \cos : \sin $. Мини-треугольник имеет аналогичные пропорции, причем самая длинная сторона равна $dx$ вместо 1. Следовательно, длины мини-сторон:

мини-красная : мини-синяя : мини-зеленая $ = dx : \cos dx : \sin dx $

Поскольку мини-синяя сторона — это изменение синуса, а мини-зеленая — изменение косинуса, получаем:

$ \sin'(x) = \text{изменение высоты} = \text{мини-синяя} = \cos(x) dx $

$ \cos'(x) = \text{изменение ширины} = (-1) \cdot \text{мини-зеленая} = - \sin(x) dx $

Обратите внимание на отрицательный знак у $ \cos' $, так как мини-зеленая сторона направлена влево (отрицательное направление).

Краткое отступление: Как работают столбцы

Стратегия «мини-треугольника» работает для всех тригонометрических функций. Есть 3 фактора:

В1: Каков знак?

«Ко-функции» в тригонометрии — это исходная функция, примененная к дополнительному углу.

$ \cos(x) = \sin(90 - x) \ \ \ \ \sin(x) = \cos(90 - x) $

$ \tan(x) = \cot(90 - x) \ \ \ \ \cot(x) = \tan(90 - x) $

$ \sec(x) = \csc(90 - x) \ \ \ \ \csc(x) = \sec(90 - x) $

Просто взглянув, мы видим, что здесь фигурируют параметры $x$ и $ (90 - x) $. Цепное правило словно шепчет (или кричит?), что производные должны быть противоположными, верно?

Давайте попробуем:

$ \cos'(x) = [\sin(90 - x)]' = [\sin'(90 - x)][(90-x)'] = \cos(90-x)(-1) $

$ = \sin(x)(-1) = -\sin(x) $

Да, мы получили отрицательный знак.

Что произошло? Мы преобразовали косинус в его синусоидальную форму (превратив угол в дополнительный), взяли производную, получили член $ -1 $ и преобразовали обратно. Все ко-функции имеют схожий шаблон, что дает нам отрицательный знак в таблице.

(Примечание: отрицательный знак означает, что ко-функция изменяется противоположно исходной функции, а не то, что производная меньше нуля. Косинус возрастает, когда синус отрицателен.)

В2: Каков масштаб?

Синус и косинус "живут" на единичной окружности (радиус 1). Другие функции используют радиус, равный секансу (tan/sec) или косекансу (cot/csc).

В3: Какова заменяемая функция?

Мы создаем мини-треугольник, уменьшая исходный и поворачивая его так, чтобы $dx$ совпадал со стороной длиной 1. Было бы странно, если бы после поворота исходные цвета (функции) указывали в том же направлении.

Изменение должно основываться на другой функции в треугольнике (изменение синуса — на косинусе, косинуса — на синусе, тангенса — на секансе и т.д.).

Кроме того, было бы странно, если бы функция росла, основываясь на своем текущем значении, не так ли? (Запомните эту мысль.)

Производные тангенса и секанса

Хорошо, давайте нарисуем мини-треугольники для тангенса и секанса:

• Сначала мы рисуем мини-треугольник $dx$ на единичной окружности (как для sin/cos).
• Затем мы сдвигаем/масштабируем мини-треугольник, чтобы он соответствовал радиусу «секанса»: $dx$ становится $ \sec(x) dx $ на окружности секанса.
• Наконец, поворачиваем мини-треугольник так, чтобы известная сторона $1$ (синяя) соответствовала нашему изменению $ \sec(x)dx $.

Хорошо. Так каковы размеры сторон мини-треугольника?

мини-синяя : мини-зеленая : мини-красная $ = 1 : \tan(x) : \sec(x) $

Мы знаем, что мини-синяя $ = \sec(x) dx $, поэтому мы просто масштабируем другие стороны на эту величину:

• $d\sec = \text{мини-зеленая} = \tan(x) [\text{мини-синяя}] = \tan(x) \sec(x)dx = \sec(x) \tan(x) dx $
• $d\tan= \text{мини-красная} = \sec(x) [\text{мини-синяя}] = \sec(x) \sec(x)dx = \sec^2(x) dx $

Отлично! Мне нравится, как это совпадает с процессом для синуса/косинуса. Мы просто измеряем стороны в мини-треугольнике.

Производные косеканса и котангенса

Для полноты картины, вот csc/cot:

Обратите внимание, как $d\cot$ и $d\csc$ в мини-треугольнике движутся против своих положительных сторон в большом треугольнике. Используя тот же процесс знак, масштаб, замена, мы получаем:

$ \cot' = (-)(\csc)(\csc) = -\csc^2 $

$ \csc' = (-)(\csc)(\cot) = -\csc \cot $

Окрашивание сторон действительно помогает мне связать мини-треугольник с исходным.

Теперь, нам не обязательно было все это рисовать: мы уже знаем $ \tan' $ и $ \sec' $. Используя цепное правило и дополнительные функции, мы можем получить:

$ \cot(x)' = [\tan(90-x)]' = \tan'(90-x)(90 - x)' = \sec^2(90-x)(-1) = -\csc^2(x) $

$ \csc(x)' = [\sec(90-x)]' = \sec'(90-x)(90 - x)' = \sec(90-x)\tan(90-x)(-1) $

$ = -\csc(x)\cot(x) $

Итог: Что означают производные?

Слепое заучивание производных тригонометрических функций мало что дает.

Глубокая интуиция: Производные тригонометрических функций основаны на 3 эффектах: знаке, радиусе (масштабе) и другой функции.

Так что вместо $ \tan' = \sec^2 $, думайте об этом как о $ \tan' = (+)(\sec)(\sec) $, то есть $ (\text{знак})(\text{масштаб})(\text{заменяемая функция}) $. Черт возьми, вы даже можете представить $ \cos' = (-)(1)(\sin) $.

Если вы сможете заполнить таблицу производных и нарисовать мини-треугольники, у вас будет гораздо лучшее понимание тригонометрии, чем у меня когда-либо.

Удачной математики.

Приложение: Комбинированная диаграмма

Она немного перегружена, но вот все мини-треугольники вместе:

И снова, интуиция: эти мини-треугольники (красный/зеленый/синий), которые все подобны, показывают изменения.

Приложение: Экспоненциальное поведение

Помните, как мы думали, что производная не должна зависеть от самой функции? Что ж,

$ \tan' = \sec^2 = 1 + \tan^2 $

что означает, что тангенс растет быстрее, чем экспоненциальная функция: он растет на основе своего квадрата (в отличие от «просто» текущего значения).

Мы видим, что $ \tan(x) $ опережает $ e^x $ в гонке, а экспоненциальные функции отнюдь не медлительны! (Я с нетерпением жду, когда «это растет по касательной» станет новой крылатой фразой.)

Приложение: Другие варианты мини-треугольников

Существуют и другие способы расположения мини-треугольника. Я считаю, что проще всего, когда изменение по периметру соответствует стороне длиной 1.

Но, при нахождении $ \tan' $, можно использовать соотношения красного/синего/зеленого из треугольника 1/cos/sin и получить:

$ \tan' = \sec \frac{1}{\cos} = \sec^2 $

Масштаб секанса тот же, но неизвестная сторона имеет длину $ \frac{1}{\cos} dx $. Другой подход, тот же результат.